Reklama
Nepřihlášený uživatel | Zaregistrovat se
 

Téma:

Věda a technika, mládeži

Spravují:

arnost,
snop

Může vás zajímat



Reklama



pojmy a tak naleznete docela dobre vysvetlene a definovane zde (Wikipedia)
Nebo z jineho zdroje zde (Math Thesaurus)

pripadne se zkuste pohrabat v nejvetsi encyklopedii matematiky: http://mathworld.wolfram.com/


arnost Snad zas nechci tak  moks
Jasne, volny soucin a kontrakce.
Ne uplně, je to tenzorovej součin + kontrakce. To kontrakcí se shodí řád tenzoru ze 4 zpět na 2.
arnost Snad zas nechci tak  moks
Maticove nasobeni je specialni pripad tensoroveho.
von_Zeppelin Vyhubit lidstvo  pclib php framework
Zatím jsem si z toho vybral, že tenzory mají tenzorové nádobení, které je odlišné od maticového, mají dva typy indexů (uh), přičemž typ indexu ovlivňuje transformaci tenzoru do jiné báze a že existují nějaké fyzikální tenzorové veličiny, které je zřejmě výhodné popisovat pomocí tenzoru.
 
(Hmm, u tý polarizace jsem fakt trochu zmatlal dimenzi a řád tenzoru, kdyžtak můžu dovyjasnit. Obecně spolu dimenze a řád tenzoru nijak nesouvisej. Ale ta metafora "tenzory jsou něco jako polynomy bez komutativity" je správná.)
Hmmm, tohle fakt nebyl dobrej příklad, "zneužívam" tu právě zapisování 2x kovariantního tenzoru jako matice, proč jsem si zvolil zrovna dimenzi 2.... a vůbec to asi nic moc neosvětlilo.

Znovu a lépe, matice:
(0 1 2) (3 0 0) (0 0 4)
se dá zapsat taky jako tenzor:
ξ1⊗x2 + 2ξ1⊗x3 + 3ξ2⊗x1 + 4ξ3⊗x3
arnost Snad zas nechci tak  moks
Uplne spravne ne, ale jistou intuici to dava.
Ta dlouhá nudle to imo nevyjadřuje uplně správně, ono by fakt bylo potřeba něco, co má "sloupce a sloupce" nebo "řádky a řádky" místo řádků a sloupců.
Ještě ty dva různý pohledy zkusim propojit. Třeba polynom x^2 skrze tu polarizaci odpovídá matici:
( 0 1/2 ) ( 1/2 0 )
arnost Snad zas nechci tak  moks
Imho jednodussi si je to predstavit pres ty radkove a sloupcove vektory, kde skalary skladam bud kovariantne (radkove), nebo kontravariantne (sloupcove)

a stejne ted muzu skladat radkove i sloupcove vektory radkove i slopcove, coz vede bud k matici (poskladane dvema zpusoby), nebo takove dlouhe nudli (stojate, nebo lezate)
 
Tou analogií s polynomama jsme dostali v každym řádu jen jeden nesmíšenej typ, konkrétně plně kovariantní. Kdybychom chtěli i kontravariantní, tak bychom si k proměnnejm x1, x2, ... museli přidat ještě druhou sadu proměnnejch ξ1, ξ2, ... Při mixování pak můžeme komutovat xka a ξčka, tj. např. všechny xka doleva a a ξčka doprava, ale nesmíme prohazovat xka resp. ξčka mezi sebou.
von_Zeppelin Vyhubit lidstvo  pclib php framework
Díky všem, ještě si to pročtu a zkusím si o tom něco najít.
 
Pro ten abstraktní pohled možná pomůže se na to podívat taky "zespodu", přes polynomy, ty jsou lidem bližší než tenzory.

Když si vezmu polynom, třeba p(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1, tak si ho můžu napsat taky jako funci 3 proměnnejch x1, x2, x3:

p(x1,x2,x3) = x1 x2 x3 + 2/3 (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1) - 1/3 (x1 + x2 + x3) + 1

Když teď položim x1 = x2 = x3 = x, tak dostanu ten původní polynom. Tomuhle se řiká polarizace a cílem týhle opičárny je, že jsem dostal funkci, která je vzhledem k jednotlivejm x1, x2, x3 lineární. U polynomů předpokládam, že ty proměnný x1, x2, x3 komutujou, tj. např. x1 x2 = x2 x1. A samozřejmě taky že to násobení je asociativní.

No a u tenzorů nepožaduju komutativitu, jen asociativitu. Takže třeba x1⊗x2 je jinej tenzor než x2⊗x1, ale jinak to funguje podobně jako polynomy. Polynomy odpovídaj 1:1 tzv. symetrickejm (kovariantním) tenzorům. (Anti)symetrie tenzoru je jen jinej způsob jak vyjádřit (anti)komutativitu těch proměnnejch.
snop ale ti co meli prijit  neprisli
Toz ja rikam, ze je to slozitejsi a ze tomu nerozumim. A kdybych predtim, nez jsem sesmolil svuj prispevek, cetl to, cos psal ty, tak bych si ten svuj taky mohl v podstate odpustit :-)
V podstate muj point je pouze v tom, ze tenzor je zobrazeni, v podstate jen nahodile vyjadrene pomoci matice a krychlicek a podobne, ne "inertni" objekt (jako je matice, krychlicka a podobne).
Pokud dobre chapu, ze rikas, ze kontravariantni tenzory nejsou zobrazeni, tak me to uprimne prekvapuje.
To "B + T(C)" je trochu matoucí, stačilo napsat "T(A) + T(C)".
Uplně nee, ty se pořád bavíš jen o maticích, který 1:1 odpovídaj těm lieárnim zobrazenim T: R^n -> R^n. Ale třeba ty 2x kovariantní tenzory odpovídaj bilineárním zobrazením (formám) T: R^n x R^n -> R. T5eba skalární součin je zvláštní případ 2x kovariantního tenzoru.

Ty 2x kontravariantní se takhle popsat nedaj bez pojmu duálu. Duál neni nic jinýho, než že ze sloupcovejch vektorů vyrobim řádkový a naopak. V souřadnicích to odpovídá transponování matice, ale je to trochu složitější (transponovánim v různejch souřadnicovejch soustavách dostaneš obecně různý výsledky...).
arnost Snad zas nechci tak  moks
Imho maximalni volna asociativni algebra nad skalary a sloupcovymi a radkovymi vektory.
snop ale ti co meli prijit  neprisli
Matice: objekt, ktery obsahuje X × Y čísel. Je definovano scitani matic, nasobeni zleva a zprava cislem, usporadanym souborem cisel ("vektorem") a matici.

Tenzor (druheho radu, tedy to, co se casto sdeluje ve forme ctvercove matice) je oproti tomu "linearni" funkce T: Rn → Rn, tedy kdyz do toho vhodis vektor A, tak ti vypadne jiny vektor B, obecne nekolinearni. "Linearni" rikam proto, ze kdyz vhodis dvakrat vetsi vektor 2A, tak ti vypadne dvakrat vetsi vektor 2B, a kdyz vhodis A+C, tak ti vypadne B + T(C).

To se da zapsat matici, protoze lze nahlednout, ze vlastne zalezi jenom na tom, co vypadne z bazovych vektoru (1,0,0,...,0), (0,1,0,...,0) az (0,0,...,0,1), takze vlastne musime definovat jenom vysledky pro tohle... a zjevne matice n × n ma presne tu vlastnost, ze kdyz ji zprava vynasobim (1,0,0,...,0), tak vypadne presne prvni radek, pak druhy, atd., takze vlastne jenom zapisu ty vektory, ktere chci, aby vypadavaly pro bazove vektory na vstupu, pod sebe.

Z toho plyne, ze zrejme konkretni cisla v tehle matici zalezi na bazi, takze kdyz tenzor popisu jako matici, tak musim pridelat transformacni pravidla, aneb co se stane, kdyz prejdu do jinych souradnic.

Inu a tohle muzu zobecnovat nahoru i dolu a ruzne pro "kovariantni prostory" ci co, tomu uz nerozumim. Nicmene mimo jine z toho plyne, proc jsem nahore to "vektor" dal do uvozovek - vektor je striktne vzato taky zavisly na soustave souradnic, kdezto kdyz matici chapu jako inertni objekt, nenasobim ji vektorem, ale usporadanou n-tici cisel.
Stručně řečeno, z toho abstraktního pohledu jsou tenzory univerzální prototyp asociativního násobení nad vektorovym prostorem (tj. se sčítánim a násobenim skalárem neboli linearitou vzhledem ke skalárum).
... a ty druhý "2x řádky a žádný sloupce" samozřejmě.