Reklama
Nepřihlášený uživatel | Zaregistrovat se
 

Téma:

Věda a technika, mládeži

Spravují:

arnost,
snop

Může vás zajímat



Reklama



pojmy a tak naleznete docela dobre vysvetlene a definovane zde (Wikipedia)
Nebo z jineho zdroje zde (Math Thesaurus)

pripadne se zkuste pohrabat v nejvetsi encyklopedii matematiky: http://mathworld.wolfram.com/


Pro ten abstraktní pohled možná pomůže se na to podívat taky "zespodu", přes polynomy, ty jsou lidem bližší než tenzory.

Když si vezmu polynom, třeba p(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1, tak si ho můžu napsat taky jako funci 3 proměnnejch x1, x2, x3:

p(x1,x2,x3) = x1 x2 x3 + 2/3 (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1) - 1/3 (x1 + x2 + x3) + 1

Když teď položim x1 = x2 = x3 = x, tak dostanu ten původní polynom. Tomuhle se řiká polarizace a cílem týhle opičárny je, že jsem dostal funkci, která je vzhledem k jednotlivejm x1, x2, x3 lineární. U polynomů předpokládam, že ty proměnný x1, x2, x3 komutujou, tj. např. x1 x2 = x2 x1. A samozřejmě taky že to násobení je asociativní.

No a u tenzorů nepožaduju komutativitu, jen asociativitu. Takže třeba x1⊗x2 je jinej tenzor než x2⊗x1, ale jinak to funguje podobně jako polynomy. Polynomy odpovídaj 1:1 tzv. symetrickejm (kovariantním) tenzorům. (Anti)symetrie tenzoru je jen jinej způsob jak vyjádřit (anti)komutativitu těch proměnnejch.
snop ale ti co meli prijit  neprisli
Toz ja rikam, ze je to slozitejsi a ze tomu nerozumim. A kdybych predtim, nez jsem sesmolil svuj prispevek, cetl to, cos psal ty, tak bych si ten svuj taky mohl v podstate odpustit :-)
V podstate muj point je pouze v tom, ze tenzor je zobrazeni, v podstate jen nahodile vyjadrene pomoci matice a krychlicek a podobne, ne "inertni" objekt (jako je matice, krychlicka a podobne).
Pokud dobre chapu, ze rikas, ze kontravariantni tenzory nejsou zobrazeni, tak me to uprimne prekvapuje.
To "B + T(C)" je trochu matoucí, stačilo napsat "T(A) + T(C)".
Uplně nee, ty se pořád bavíš jen o maticích, který 1:1 odpovídaj těm lieárnim zobrazenim T: R^n -> R^n. Ale třeba ty 2x kovariantní tenzory odpovídaj bilineárním zobrazením (formám) T: R^n x R^n -> R. T5eba skalární součin je zvláštní případ 2x kovariantního tenzoru.

Ty 2x kontravariantní se takhle popsat nedaj bez pojmu duálu. Duál neni nic jinýho, než že ze sloupcovejch vektorů vyrobim řádkový a naopak. V souřadnicích to odpovídá transponování matice, ale je to trochu složitější (transponovánim v různejch souřadnicovejch soustavách dostaneš obecně různý výsledky...).
arnost Snad zas nechci tak  moks
Imho maximalni volna asociativni algebra nad skalary a sloupcovymi a radkovymi vektory.
snop ale ti co meli prijit  neprisli
Matice: objekt, ktery obsahuje X × Y čísel. Je definovano scitani matic, nasobeni zleva a zprava cislem, usporadanym souborem cisel ("vektorem") a matici.

Tenzor (druheho radu, tedy to, co se casto sdeluje ve forme ctvercove matice) je oproti tomu "linearni" funkce T: Rn → Rn, tedy kdyz do toho vhodis vektor A, tak ti vypadne jiny vektor B, obecne nekolinearni. "Linearni" rikam proto, ze kdyz vhodis dvakrat vetsi vektor 2A, tak ti vypadne dvakrat vetsi vektor 2B, a kdyz vhodis A+C, tak ti vypadne B + T(C).

To se da zapsat matici, protoze lze nahlednout, ze vlastne zalezi jenom na tom, co vypadne z bazovych vektoru (1,0,0,...,0), (0,1,0,...,0) az (0,0,...,0,1), takze vlastne musime definovat jenom vysledky pro tohle... a zjevne matice n × n ma presne tu vlastnost, ze kdyz ji zprava vynasobim (1,0,0,...,0), tak vypadne presne prvni radek, pak druhy, atd., takze vlastne jenom zapisu ty vektory, ktere chci, aby vypadavaly pro bazove vektory na vstupu, pod sebe.

Z toho plyne, ze zrejme konkretni cisla v tehle matici zalezi na bazi, takze kdyz tenzor popisu jako matici, tak musim pridelat transformacni pravidla, aneb co se stane, kdyz prejdu do jinych souradnic.

Inu a tohle muzu zobecnovat nahoru i dolu a ruzne pro "kovariantni prostory" ci co, tomu uz nerozumim. Nicmene mimo jine z toho plyne, proc jsem nahore to "vektor" dal do uvozovek - vektor je striktne vzato taky zavisly na soustave souradnic, kdezto kdyz matici chapu jako inertni objekt, nenasobim ji vektorem, ale usporadanou n-tici cisel.
Stručně řečeno, z toho abstraktního pohledu jsou tenzory univerzální prototyp asociativního násobení nad vektorovym prostorem (tj. se sčítánim a násobenim skalárem neboli linearitou vzhledem ke skalárum).
... a ty druhý "2x řádky a žádný sloupce" samozřejmě.
Pak jsou možný zobecnění nebo abstraktnější pohledy. Když mam dva vektorový prostory (obecněji moduly) V a W, tak se dá udělat tenzorovej součin V a W. Jeho dimenze je součin dimenzí V a W, v souřadnicích by to pak vypadalo jako obdelníkový matice. Pak můžu přidat třetí prostor, v souřadnicích dostanu kvádry atd.

Nebo se na to dá jít ještě jinak. Když vezmu dohromady (jen kontravariantní) tenzory všech možnejch řádů (nad tim samym V), tak tam mam ten tenzorovej součin a je to asociativní algebra. A ona je v nějakym smyslu nejobecnější možná (tzv. volná), každá jiná asociativní algebra, která obsahuje všechny vektory z V, se z ní dá vyrobit.
asym Tradiční plky, postvax edition 
Matice je matematický způsob jak reprezentovat fyzikální tenzorovou veličinu, podobně jako vektor je způsob, jak reprezentovat polohu.
Vektor je tenzor prvního řádu a matice druhého, znamená to, že tenzor druhého řádu je identický s maticí?

Cca. Asi jako je jakákoli řada čísel vektor. Když budu mít hromadu čísel, která spolu nesouvisejí, můžu je sice vnímat jako vektor, ale nic mi to nepřináší. Vektor použiju, pokud se mi chce/hodí ta čísla interpretovat jako koordináty v nějakém prostoru (nemyslím nutně 3D euklidovský)
Analogicky pro matici, krychličku čísel, hyperkrychličku čísel atd.
Je to matice, víceméně. Je to spíš otázka toho, jak se na to koukáš a co s tim hodláš dělat. U matic je důraz na maticový násobení, vynásobením dvou matic dostaneš zas matici. U tenzorů a priori tohle násobení nemáš, máš zas tenzorový násobení, ale to je jiný, ze dvou tenzorů 2. řádu uděláš tenzor 4. řádu, z vektoru a tenzoru druhýho řádu tenzor 3. řádu atp., řády se sčítaj.

U tenzoru je klíčový (hlavně pro fyziky), jak se jeho konkrétní číselný vyjádření mění při změně báze (souřadnicový soustavy). U vektorů to vyjadřuje matice přechodu C, vektor v po změně souřadnic vypadá jako Cv (vynásobim matici a sloupcovej vektor). Matice A se transformuje podle vztahu CA(C^-1).

Tady pak začínaj hrát roli tzv. kovariantní a kontravariantní indexy. Skaláry jsou jenom jedny. Tenzory prvního řádu jsou dvou typů, "kontravariantní" vektory a "kovariantní" formy. Záležá na konvenci, ale vektory se píšou jako sloupcový a formy jako řádkový.

Tenzory 2. řádu jsou už třech typů: 2x kontravariantní, 1x kontravariantní a 1x kovariantní (smíšený), 2x kovariantní. Matice jsou ty smíšený, maj "1x řádky a 1x sloupce" a taky se tak transformujou. Ty zbylý dva typy se transformujou jinak, jako CA(C^t) resp. ((C^-1)^t)A(C^-1). Dalo by se to teda chápat tak, že ty první maj "2x sloupce a žádný řádky" a ty druhý "2x sloupce a žádný řádky". Ale to se blbě píše na papír :-) Takže se to taky někdy zapisuje jako matice, což může bejt matoucí a vést k chybám.

Tenzory 3. řádu jsou pak ty krychličky, ale jsou tam čtyři typy...
arnost Snad zas nechci tak  moks
Je to proste zobecneni vektoru, pricemz se bere i to, jestli se jedna o radkovy, nebo sloupcovy vektor. Tenzor je zobecnenim obou techto typu.

Nasledne tenzory muzou spolu ruzne kohabitovat kuprikladu sloupcovy (kontravariantni) vektor a radkovy vektor (kovariantni) muzete jednoduse vynasobit a ziskat jiny tenzor. Pripadne vektor a matici. Tomuto zobecneni se pak rika tensorovy pocet.

Tensory ve fyzice par reprezentuji veliciny, ktere se pri zmene souradne soustavy transformuji linearne k teto zmene.

von_Zeppelin Vyhubit lidstvo  pclib php framework
Mám tady pravidelné okénko "matematické výrazy, které Zeppelin nechápe". K čemu je tenzor?
Vektor je tenzor prvního řádu a matice druhého, znamená to, že tenzor druhého řádu je identický s maticí?

Kdy budu mluvit o tenzoru? Když potřebuju něco vyššího řádu než matice, třeba místo tabulky čísel "krychličku čísel"?

Nebo je v tom ještě něco jiného a má smysl uvažovat/mluvit o tenzorech i když je to druhého řádu, čili matice?
 
Já si u něj vždycky říkám, že kdyby takoví byli všichni učitelé matematiky na VŠ, to by bylo.
Jinak ono se to v teorii diferenciálních okruhů (potažmo v tom symbolickym integrování) dělá ještě obecnějš než s nějakym k:
(exp(f))' = f' exp(f)
Důvod je ten, že se to tam vůbec nechápe jako funkce a neni tam operace skládání funcí (takže ani derivace složený funkce resp. substituce). Pokud bychom přidali to skládání, tak to bude mnohem složitější struktura a asi i hnusná.
Přesně tak. Správně (analýznicky) bych ještě měl ověřit předpoklady věty o existenci a jednoznačnosti řešení takovýhle ODR, ale to je v tomhle případě formalita. (Parametr k je pak konkrétně roven i. Nebo bys chtěl k i u toho sin a cos? To by samozřejmě šlo, ale nepotřeboval jsem to.)
von_Zeppelin Vyhubit lidstvo  pclib php framework
A ten výsledek plyne z toho, že se to c(x)+is(x) po zderivování chová stejně jako e(x) a má stejnou počáteční podmínku? Takže je vlastně řešením stejné diferenciální rovnice. Zajímavé. (Akorát mám pocit. že když mám e'(kx) tak bych měl mít parametr kx i v tom druhém odstavci...)
von_Zeppelin Vyhubit lidstvo  pclib php framework
Já jsem spokojený. Formální důkaz to možná nenahradí, ale cílem toho videa byla určitá popularizace (byť nějaký matematický základ vyžaduje) a tady je podle mě provedená na velmi dobré úrovni.
(A posluchač toho ví vždycky ještě míň, než si představujeme :-)