Reklama
Nepřihlášený uživatel | Zaregistrovat se
 

Téma:

Věda a technika, mládeži

Spravují:

arnost,
snop

Může vás zajímat



Reklama



pojmy a tak naleznete docela dobre vysvetlene a definovane zde (Wikipedia)
Nebo z jineho zdroje zde (Math Thesaurus)

pripadne se zkuste pohrabat v nejvetsi encyklopedii matematiky: http://mathworld.wolfram.com/


Pak jsou možný zobecnění nebo abstraktnější pohledy. Když mam dva vektorový prostory (obecněji moduly) V a W, tak se dá udělat tenzorovej součin V a W. Jeho dimenze je součin dimenzí V a W, v souřadnicích by to pak vypadalo jako obdelníkový matice. Pak můžu přidat třetí prostor, v souřadnicích dostanu kvádry atd.

Nebo se na to dá jít ještě jinak. Když vezmu dohromady (jen kontravariantní) tenzory všech možnejch řádů (nad tim samym V), tak tam mam ten tenzorovej součin a je to asociativní algebra. A ona je v nějakym smyslu nejobecnější možná (tzv. volná), každá jiná asociativní algebra, která obsahuje všechny vektory z V, se z ní dá vyrobit.
asym Tradiční plky, postvax edition 
Matice je matematický způsob jak reprezentovat fyzikální tenzorovou veličinu, podobně jako vektor je způsob, jak reprezentovat polohu.
Vektor je tenzor prvního řádu a matice druhého, znamená to, že tenzor druhého řádu je identický s maticí?

Cca. Asi jako je jakákoli řada čísel vektor. Když budu mít hromadu čísel, která spolu nesouvisejí, můžu je sice vnímat jako vektor, ale nic mi to nepřináší. Vektor použiju, pokud se mi chce/hodí ta čísla interpretovat jako koordináty v nějakém prostoru (nemyslím nutně 3D euklidovský)
Analogicky pro matici, krychličku čísel, hyperkrychličku čísel atd.
Je to matice, víceméně. Je to spíš otázka toho, jak se na to koukáš a co s tim hodláš dělat. U matic je důraz na maticový násobení, vynásobením dvou matic dostaneš zas matici. U tenzorů a priori tohle násobení nemáš, máš zas tenzorový násobení, ale to je jiný, ze dvou tenzorů 2. řádu uděláš tenzor 4. řádu, z vektoru a tenzoru druhýho řádu tenzor 3. řádu atp., řády se sčítaj.

U tenzoru je klíčový (hlavně pro fyziky), jak se jeho konkrétní číselný vyjádření mění při změně báze (souřadnicový soustavy). U vektorů to vyjadřuje matice přechodu C, vektor v po změně souřadnic vypadá jako Cv (vynásobim matici a sloupcovej vektor). Matice A se transformuje podle vztahu CA(C^-1).

Tady pak začínaj hrát roli tzv. kovariantní a kontravariantní indexy. Skaláry jsou jenom jedny. Tenzory prvního řádu jsou dvou typů, "kontravariantní" vektory a "kovariantní" formy. Záležá na konvenci, ale vektory se píšou jako sloupcový a formy jako řádkový.

Tenzory 2. řádu jsou už třech typů: 2x kontravariantní, 1x kontravariantní a 1x kovariantní (smíšený), 2x kovariantní. Matice jsou ty smíšený, maj "1x řádky a 1x sloupce" a taky se tak transformujou. Ty zbylý dva typy se transformujou jinak, jako CA(C^t) resp. ((C^-1)^t)A(C^-1). Dalo by se to teda chápat tak, že ty první maj "2x sloupce a žádný řádky" a ty druhý "2x sloupce a žádný řádky". Ale to se blbě píše na papír :-) Takže se to taky někdy zapisuje jako matice, což může bejt matoucí a vést k chybám.

Tenzory 3. řádu jsou pak ty krychličky, ale jsou tam čtyři typy...
arnost Snad zas nechci tak  moks
Je to proste zobecneni vektoru, pricemz se bere i to, jestli se jedna o radkovy, nebo sloupcovy vektor. Tenzor je zobecnenim obou techto typu.

Nasledne tenzory muzou spolu ruzne kohabitovat kuprikladu sloupcovy (kontravariantni) vektor a radkovy vektor (kovariantni) muzete jednoduse vynasobit a ziskat jiny tenzor. Pripadne vektor a matici. Tomuto zobecneni se pak rika tensorovy pocet.

Tensory ve fyzice par reprezentuji veliciny, ktere se pri zmene souradne soustavy transformuji linearne k teto zmene.

von_Zeppelin Vyhubit lidstvo  pclib php framework
Mám tady pravidelné okénko "matematické výrazy, které Zeppelin nechápe". K čemu je tenzor?
Vektor je tenzor prvního řádu a matice druhého, znamená to, že tenzor druhého řádu je identický s maticí?

Kdy budu mluvit o tenzoru? Když potřebuju něco vyššího řádu než matice, třeba místo tabulky čísel "krychličku čísel"?

Nebo je v tom ještě něco jiného a má smysl uvažovat/mluvit o tenzorech i když je to druhého řádu, čili matice?
 
Já si u něj vždycky říkám, že kdyby takoví byli všichni učitelé matematiky na VŠ, to by bylo.
Jinak ono se to v teorii diferenciálních okruhů (potažmo v tom symbolickym integrování) dělá ještě obecnějš než s nějakym k:
(exp(f))' = f' exp(f)
Důvod je ten, že se to tam vůbec nechápe jako funkce a neni tam operace skládání funcí (takže ani derivace složený funkce resp. substituce). Pokud bychom přidali to skládání, tak to bude mnohem složitější struktura a asi i hnusná.
Přesně tak. Správně (analýznicky) bych ještě měl ověřit předpoklady věty o existenci a jednoznačnosti řešení takovýhle ODR, ale to je v tomhle případě formalita. (Parametr k je pak konkrétně roven i. Nebo bys chtěl k i u toho sin a cos? To by samozřejmě šlo, ale nepotřeboval jsem to.)
von_Zeppelin Vyhubit lidstvo  pclib php framework
A ten výsledek plyne z toho, že se to c(x)+is(x) po zderivování chová stejně jako e(x) a má stejnou počáteční podmínku? Takže je vlastně řešením stejné diferenciální rovnice. Zajímavé. (Akorát mám pocit. že když mám e'(kx) tak bych měl mít parametr kx i v tom druhém odstavci...)
von_Zeppelin Vyhubit lidstvo  pclib php framework
Já jsem spokojený. Formální důkaz to možná nenahradí, ale cílem toho videa byla určitá popularizace (byť nějaký matematický základ vyžaduje) a tady je podle mě provedená na velmi dobré úrovni.
(A posluchač toho ví vždycky ještě míň, než si představujeme :-)
Fakt, hned na začátku? Moh jsem to přeslechnout, už na to znova koukat nebudu. A má to říct líp a výraznějc, tak :-) Představuju si posluchače, kterej termit "initial condition" slyší poprvý v životě a vůbec netuší, co to je.
bwian I'm a lucky bastard! 
Neřekne? Vždyť tam to označení “initial condition” přímo použije. To jsou podivné výtky, tohleto. :-)
Taky můžu spočíst:
(s(x)^2 + c(x)^2)' = 2s(x)c(x) - 2c(x)s(x) = 0, s(0)^2 + c(0)^2 = 0 + 1 = 1
a tudíž
s(x)^2 + c(x)^2 = 1.
Voila, kružnice :-)
(Crossover s minulym) Zavádět transdendentní funkce axiomaticky jako řešení nějaký diferenciální rovnice je krásnej příklad toho algebraickýho přístupu. Když si zavedu funkce (resp. prostě nějaký elementy, viz níže) e, s, c,
e'(kx) = ke(kx) pro každý k, e(0) = 1 s'(x) = c(x), s(0) = 0 c'(x) = -s(x), c(0) = 1
tak snadno ukážu,
(c(x) + is(x))' = -s(x) + ic(x) = i(c(x) + is(x)), c(0) + is(0) = 1
a tudíž
c(x) + is(x) = e(ix).
Analýzník se na mnoho stran nadře, aby ukázal, že takový funkce existujou a jsou jednoznačný. Ale taky se na tu dřinu můžu vybodnout a prostě existenci a jednoznačnost takovejch elementů v mym univerzu postulovat a vybavené :-) A stačí mi to, abych moh třeba i symbolicky integrovat.
 
neprihlaseny_OC  
(Nicméně osobně bych — až na velmi specifické medicínské kontexty — měl leccos proti hustotě týchž.)
Ale tak zas jestli se vám to líbí, proti gustu, žádný blbosti tam neřiká. Já bych prostě rád důsledně ukazoval, že v matice jde o nepřerušený logický řetězce, kdy můžeš výklad krok od kroku sledovat a překontrolovat. A ne jak v nějaký archeologii, "podivejte jakou hustou kostru jsme někde vykopali" (nic proti archeologii a kostram :-).
To mi zrovna nevadí, rychlost je výborná metafora pro derivaci.
Taky na začátku sice řekne, že druhá část definice je "y(0)=1", ale neřekne, že se to jmenuje "počáteční podmínka". Pak to dost upozaďuje a pak se najednou odvolá na počáteční podmínku. Taky se mi nelíbí to tau, co to hergot má bejt, proč neřekne normálně 2 pí nebo to tau nezavede. Celkově tam imo může vzniknout několik momentů, kdy autorovi uplně nerozumíš a musíš mu věřit, což je v matice špatně.