Reklama
Nepřihlášený uživatel | Zaregistrovat se
 

Téma:

Věda a technika, mládeži

Spravují:

arnost,
snop

Může vás zajímat



Reklama



pojmy a tak naleznete docela dobre vysvetlene a definovane zde (Wikipedia)
Nebo z jineho zdroje zde (Math Thesaurus)

pripadne se zkuste pohrabat v nejvetsi encyklopedii matematiky: http://mathworld.wolfram.com/


BMW jsem poslouchal Meteor a jak nesnáším slovo Insuficient, tak to borec podal naprosto krásně!
 
Nojo, jak to psal zimous: Si tak uděláte konečný počet prvočísel, můžete si je libovolně násobit a pohoda klid… pak dovolíte udělat i +1 a bum, hned máte Euklidův důkaz nekonečnosti prvočísel…
von_Zeppelin Vyhubit lidstvo  pclib php framework
Ono i kdyby někdo vymyslel matematiku bez prvočísel, tak by tam nějaké nekonečné nepravidelnosti a singularity určitě prolezly. Bude v tom nějaká zlomyslnost.
 
arnost Snad zas nechci tak  moks
A vlastne by se nekdy zacatkem 20 stoleti dokoncil Hilbertuv program a matematici by se mohli naplno venovat kuzelkam.
A Riemannova hypotéza asi taky :)
Lol, zrovna tenhle týden jsem si pohrával s myšlenkou, zda by Collatze nešlo řešit pouze pro prvočísla...
arnost Snad zas nechci tak  moks
Kdyby nebylo prvocisel nekonecne, tak Goedel se svym dukazem neuplnosti patrne ostrouha.
von_Zeppelin Vyhubit lidstvo  pclib php framework
Pardon, ve skutečnosti jsem chtěl reagovat na arnoštovo "ne vsechna prirozena cisla jsou ale od podstaty zla. k lepsimu matematickemu pristi by stacilo vystrilet vetsinu prvocisel." :)
Jak jsem psal, on není problém s multiplikativní strukturou potažmo prvočíslama per se, ale s tou kombinací multiplikativní a aditivní struktury. Ta je prostě hnusná. Ono se to dá vzít i z druhý strany než obvykle. Můžu si každý číslo reprezentovat jako konečnou posloupnost (k1, k2, ...) skrz rozklad na prvočísla, tj. n = 2^k1 * 3^k2 * ... Náseobení ja pak trivka, prostě sečtu po složkách ty exponenty. Ale zkus v týhle reprezentaci udělat sčítání! Kdybys kápnul na dostatečně pěknej vzoreček, jak to udělat, tak bys tim mimochodem vyřešil třeba prvočíselný dvojčata :-)
von_Zeppelin Vyhubit lidstvo  pclib php framework
Co máte proti prvočíslům? Akorát že u některých tvrzení (hlavně z teorie čísel, jako třeba fermatova věta), je důkaz obtížný patrně právě proto, že se musí provést pro všechna prvočísla. Proto je mi sympatická třeba collatzova domněnka, protože tam o prvočísla zřejmě nejde (asi).
Ono to vnoření do algebry jde udělat explicitně. Třeba topologický (hladký) varietě přiřadíš algebru spojitejch (hladkejch) reaálnejch funkcí na ní. Bodu v prostoru pak odpovídá množina funkcí, který jsou v danym bodě nulový. A tahle množina je maximální ideál. Pokud je ten prostor kompaktní, tak dostaneš korespondenci bod - maximální ideál, která je 1:1. Pokud není kompaktní, tak tam dostaneš spoustu dalších maximálních ideálů funkcí, který "po různejch cestách jdou k nule v nekonečnu". Dostane se tim dost veliká kompaktifikace, tipnul bych že asi i ta největší Čech-Stoneova.

Btw. ta algebra je samozřejmě komutativní, protoře reálný (nebo třeba i komplexní) čísla jsou komutativní. Hádej, co je ta "nekomutativní geometrie" :-)
(Ono je fakt lepší mluvit o kompaktnosti a ne o úplnosti. Úplnej, ale nekompaktní prostor, třeba reálná přímka, pořád nemá tu limitu totální, může ti to "utéct do nekonečna", divergovat. Ono ani s tou kompaktností to neni uplně přesný, i v kompaktnim prostoru může posloupnost oscilovat a tedy nekonvergovat. Ale nemůže divergovat, nemá kam. Z toho high level pohledu je pak oscilace na rozdíl od divergence jen technickej detail, kterej nerozbije tu algebraičnost.)
arnost Snad zas nechci tak  moks
Tak nejak podobne si to taky predstavuju. Po zuplneni je veskera analyza vlastne algebra. Co je na analyze cenne je ta analyticka intuice/kalkulus neuplnych operaci, ktera umoznuje nahlizet problemy jinym (dalo by se asi rici Newtonovskym) zpusobem.
Jak jsme nakousli tu analýzu vs. algebru, tak k tomu ublognu takovej hodně high level, kategoriální pohled, ať to jednou shrnu na jedno místo.

(Následující vyjadřuje můj osobní pohled, leckterý kolega by třeba nesouhlasil. A taky už si některý věci můžu pamatovat nepřesně, dávno se tim nezabejvam, takže s rezervou. A beztak jsou to jen takový napůl filozofický kecy ;-)

Jako usmrkanej středoškolák jsem kdysi slyšel takovou pěknou poučku: "Algebra je o rovnostech, analýza o nerovnostech. Rovnost je v analýze jen nezajímavý okrajový případ nerovnosti :-)" Rozhodně to dává smysl, důkazy v základech analýzy jsou pořád o nějakejch odhadech a ε-δ tělocviku. A je uplně jedno, jestli se v definicích požadujou ostrý nebo neostrý nerovnosti, stejně se to ε resp. δ uvažuje menší a menší až bude... v limitě 0. Naopak v algebře většinou vůbec žádný uspořádání neni, takže o nerovnostech ani nejde mluvit.

Ale ono je to hlubší a dá se to formalizovat. Když to vezmeme trochu obecnějš, tak algebra je o operacích; sčítání, násobení apod. Analýza a její kamarádi jako topologie jsou o relacích: nerovnosti, relace "blízkosti", otevřenost množin. Nejjednodušší algebraická struktura jsou grupoidy (jedna binární operace), nejjednodušší "analýznická" resp. "topologická" struktura jsou orientovaný grafy (jedna binární relace).

Jenže operace je jen zvláštní případ relace, že ano. Binární operace x.y=z je jen zvláštní případ ternární relace (x,y,z). Takže ten relační ("analýznickej") svět je minimálně tak silnej jako ten operační ("algebraickej"). A promítá se to i na úrovni kategorií. Dokonce se ukázalo, že relační svět je úplně univerzální, každá kategorie se dá věrně vnořit třeba do do kategorie grafů nebo topologickejch prostorů (až na temnařský opruzy, kdy je ta kategorie moc velká, tj. třída). Speciálně se tam daj vnořit, jinak řečeno nasimulovat i všechny algebraický kategorie. Např. můžu každý grupě šikovně přiřadit vhodnej graf resp. topologickej prostor a grupový homorfismy pak budou 1:1 odpovídat grafovejm homomorfismum resp. spojitejm zobrazením.

Přirozeně se nabízí otázka, jestli je ten operační svět taky univerzální. Jinak řečeno, jestli jsou ty relace ostře silnější nebo stejně silný jako operace. Ukázalo se, že obecně ne, relace jsou ostře silnější. Ale pozná se to až ve velkejch kardinalitách. Ta hranice, kde relace začínaj bejt ostře silnější, je právě Vopěnkův kardinál a jestli se nepletu, tak se to dá použít jako jeho ekvivalentní definice. Ostatně naše skvělá kategorička prof. Trnková se tenkrát aktivně účastnila Vopěnkova semináře, kde to vzniklo, a její podíl bych nepodceňoval :-)

Co je teda ten klíčovej rozdíl mezi operací a obecnou relací? Je to totalita. Operace musí bejt totální, tj. definovaná pro všechny vstupy. To obecná relace nemusí, klidně ke spoustě dvojic (x,y) nemusí existovat žádný z, aby (x,y,z) bylo v relaci. Potažmo v analýze nemusí existovat limita nebo součet nekonečný řady. A jsou to právě ty ošklivý případy, kdy limita, součet, derivace apod. neexistujou, který z analýzy dělaj analýzu. Jinak je to jen algebra. A taky když v algebře vynecháme tu totalitu a začneme se zabejvat parciálníma operacema, tj. definovanejma jen pro některý vstupy, tak už dostaneme sílu obecnejch relací. Mimochodem samotný kategorie nejsou nic jinýho než "parciální monoidy".

Na závěr se dostáváme ke zlatýmu hřebu, co když naopak v analýze budeme požadovat tu totalitu? Aby limita nebo součet řady existovali vždycky? Měli bychom tak dostat operaci a dostat se do operačního, algebraickýho podsvěta. A ano, fakt to funguje. Tahle totální limita resp. součet řady se dá vyrobit z ultrafiltrů resp. druhýho duálu. To co dostaneme se dá popsat topologicky, ale podstatný je, že dostaneme kompaktní topologie. Je to právě kompaktnost, která v nějakym volnějšim smyslu znamená, že "všechno konverguje". Předpoklad kompaktnosti tedy dává tu totalitu a můžeme to chápat jako jiný vyjádření "algebraičnosti". Vskutku, třeba kompaktní Hausdorfovský prostory tvořej algebraickou kategorii, která se dá vnořit třeba do grupoidů. Bez kompaktnosti to nejde.
 
Teorii deformací mi ani nepřípomínejte, to je moje obrovská ostuda:

https://scholar.google.com/scholar?q=deformation+theory+lecture+notes

(Akosi o tom nevím skoro ani prd. Martinové mě tam tenkrát připsali jen proto, že jsem ze začátku projevil zájem a udělal pár korektur prvních kapitol, ale pak se na to vybod. 65 citací a já si to ani nemůžu s čistym svědomim napsat do CV!)
arnost Snad zas nechci tak  moks
Kdyz jeste frcela kvantizace, kvantove algebry a grupy, tak zas byla hodne hype teorie deformaci (Gerstenhaber)
Teď dost frčí "nekomutativní geometrie", tam taky už vůbec nejde mluvit o nějakejch bodech. Jen si vybereš nějakej druh ideálů (v alg. smyslu), ale to nekoresponduje 1:1.
arnost Snad zas nechci tak  moks
(dokonce i kdyz se omezi schema indukce)
(Ale teda nerozumim tomu. Líbí se mi, že se v souvislosti s tim definujou "sober spaces" :-)
It's pointless :-)