(dokonce i kdyz se omezi schema indukce)
(Ale teda nerozumim tomu. Líbí se mi, že se v souvislosti s tim definujou "sober spaces" :-)
:-)
S tou hranicí bych to trochu upřesnil. Když vezmeš přirozený čísla buď jen se sčítánim nebo jen s násobenim, tak je to v pohodě. Aditivní struktura je volnej monoid generovanej jednim prvkem, multiplikativní struktura je volnej monoid generovanej spočetnou množinou (prvočísel). Neni divu, že jsou to rozhodnutelný teorie. Problémy začnou, když chceš obě operace najednou a záleží, jak moc je svážeš.
hodne revolucni zmena byly treba bezbodove topologie (pres frejmy a lokaly). ale nevim, jestli to nakonec k necemu kloudnemu vedlo.
ne vsechna prirozena cisla jsou ale od podstaty zla. k lepsimu matematickemu pristi by stacilo vystrilet vetsinu prvocisel.
To je ale ten první případ, kutání po podstatě, kde se ta (algoritmická) nerozhodnutelnost přesně bere.
Ostatně soudím, že přirozená čísla (nemluvě o množinách) jsou pěkně hnusná struktura a bez nich by matematika byla krásnější :-D
zas na druhou stranu, vsechny ty Robinsonovy, Skolemovy, ci Presburgerovy aritmetiky ukazaly, ze hranice rozhodnutelnosti vede nekde mezi scitanim a nasobenim prirozenych cisel.
Já mám dojem, že z tou druhou možností se v posledních dekádách roztrh pytel. Ale často je to bohužel jenom povrchní, nalinkujou se nový definice, očeše se low hanging fruit a pak se zjistí, že dál s tim moc nepohneme. Já se (hlavně z osobnostních důvodů) snažim pořád kutat v těch přízemních tradičních oblastech. Na abstraktní rozlet bude určitě ještě času dost, až definitivně zlenivim a bude mi za těžko vyřešit blbou rovnici :-)
Jedna věc je, že očešeš předpoklady, ale dostaneš v zásadě stejný nebo jen o málo slabší důsledky. Tim tak nějak zjišťuješ, co je skutečná podstata toho tvrzení a co jsou jen "technický" předpoklady. Druhá věc je kreativní průzkum, co uplně jinýho by se v tý matice dalo dál dělat :-)
to byla klasika sedesatych a sedmesatych let. Vzit nejake fundamentalni vety a ocesat predpoklady na minimum., pripadne odrezat nejake predpoklady, ktere se povazovaly za dulezite.
... ale tohle nám vlastně dává asociativitu, takže ta naše kvazigupa je grupa a je to nezajímavej případ. :-)
Hlavní motivace k oslabování je to, že některý teorie už jsou hodně prozkoumaný a prostě je otrava kutat dál do nějakejch jemností, který jsou přitom ale hrozně těžký. Tak něco oslabíš a koukáš, třeba pak něco zase zesílíš, pokud je to moc slabý. Ale jdeš jinym směrem a můžeš objevit uplně nový oblasti a fenomény.
To je ovšem hodně zvracená míra síly teorie - počet pravdivých tvrzení.
Ono vubec je to vtipne. Kdyz odmitneme nejaky axiom, tak obecne (ovsem asi nikoli nutne?) oslabime teorii, ve smyslu, ze toho bude dokazatelne/pravdive mene. Pokud naopak pribereme spor jako axiom, mame nejsilnejsi teorii vubec, protoze vse bude dokazatelne/pravdive. Coz ale zjevne neni vyhra, takze musime kriterium hledat nekde vne logiky.
Snahy o prozkoumavani techto variant pak vidim jako snahy o zkoumani toho, jaka nejslabsi teorie bude jeste vyhovovat temto "mimologickym" kriteriim. Ktera ovsem mozna ma kazdy nastavena nejak jinak, nekdo treba veri na nekonecno a kontinuum, nekdo ne, atd.
Nee, byl to David Stanovský. Aktuálně šéf katedry algebry a odjakživa odborník na organizování výletů pro matfyzáckou omladinu :-)
(nebyl jsem to ja? ja tenhle postoj zastavam dlouhodobe.)
Schopnost nějak vidět výsledky velké násobilky se vytratila během úvodního čtvrtletí první třídy. Říkala paní učitelka, že by si měl nejdřív s ostatními dětmi doplnit jakési základy (?).
Btw. zrovna minulej jsem ved rozhovor s algebraikem, kde on tvrdil, že "kalkulus", tj. praktický výpočty v analýze jsou vlastně jen algebra. Analýza k tomu dává jen background a dokazuje, že tahle "algebra" skutečně odpovídá limitám a spol. Krásně je to vidět na symbolickym integrování, jak už jsem asi někdy zmiňoval. Tam se vychází z toho, že prostě vezmeš těleso s další operací "derivování", která splňuje Leibnitzovo pravidlo a basta. Ten analýznickej obsah (sémantika) tam vůbec neni potřeba a kupříkladu se vůbec nepoužívá substituce.
