(Ono v projektivní geometrii taky nejsou vzdálenosti, ani úhly, ale naopak máš jasně specifikovaný, co jsou přímky a co ne.)
Ale můžeš přidat i jen jedno jediný nekonečno. To odpovídá konformní (vs. projektivní) geometrii. V tý už vůbec nejsou vzdálenosti, ale jen úhly a rozdíl mezi přímkou a kružnicí zcela mizí.
V tý projektivní rovině máš celou půlkružnici nekonečen, v každym směru (ale bez ohledu na nahoru/dolu) jedno. Tam se právě protínaj všechny rovnoběžky danýho směru a tudy můžeš projít "zeshora dolu" :-)
To už tak v uzavřenejch (kompaktních) prostorech bejvá, že když jdeš dlouho jednim směrem, tak dojdeš tam, odkud jsi vyšel.
Ztotožníš všechny nekonečna.
Jak se střed přehoupne i na tu druhou stranu?
V projektivní rovině je v nekonečnu nahoře i dole ten samej bod. Na sféře jsou dva různý středy (S a J pól).
Metrika ti nepokreje to nekonečno, s tim se blbě počítá a blbě se porovnává. Ale když najdeš jinej způsob, jak porovnat dvě úsečky, tak to začne dávat smysl.
Střed leží ve směru kolmo na tu přímku. Na obou stranách :-)
To je naprosto rozumná úvaha. Záleží, jestli jsi na sféře nebo v projektivní rovině. Na sféře tam ta druhá přímka (lépe řečeno pokračování tý samý za nekonečnem) bude, v projektivní rovině ne (lépe řečeno ve vzdálenosti "dvě nekonečna" už zase stojíš ty :-).
Přičemž takový střed vůbec nemusí v té rovině ležet.
A není to jedno? Možná má taková kružnice nekonečně středů.
No, nevím jakými všemi způsoby se dá definovat kružnice, ale já bych definoval jako množinu všech bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od bodu S. Na což stačí mít definovaný prostor s body a nějakou metriku.
Pak by asi šlo brát přímku jako kružnici se středem v nekonečnu...
Mě znepokojuje, že střed je (nekonečně daleko, ok, ale) kterým směrem?
Mě by trochu zneklidňovalo, že někde ve vzdálenosti "dvě nekonečna" cítím tu druhou přímku, která odpovídá opačné straně kružnice. Kdoví, co to může způsobit!
Co je to to R? Umime to zavest bez pojmu primky?
Kružnice je R < nekonečno
Pak ti to ovšem moc nedává smysl: přímka je R < nekonečno s R = nekonečno.
